本内容基于Quantum Computation and Quantum Information 提到的内容
1. Gram–Schmidt process (格拉姆-施密特正交化)
1.1 基本流程
该方法可用于将一组线性无关的向量（或某内积向量空间的一组基）转化为一组标准正交基。
首先假设有两个线性无关的向量，易见它们的线性组合怎么都得不到0，除了系数都为0才能得到0。
同时计算它们的内积，发现它们的内积不为0，说明不是正交的。
根据定义计算向量的范数，可以通过简单的计算得到：
发现并不是单位向量，因为范数不等于1。则将范数作为源向量的分母即可完成正规化，
此时再计算这个正规化的向量的范数：
某个向量满足范数等于1，意味着是单位向量，也是正规化的。已知它们各自为单位向量，现在这两个向量集能构成标准正交吗？根据定义，需要为集合中每个向量都是单位向量且不同向量间都是正交的。白话：向量的范数为1，不同向量的内积为0。
经过计算，结果显然现在不能构成一组标准正交向量。
根据格拉姆-施密特正交化方法，
第一步，从一组线性无关的向量随意选取一个向量，将其正规化，定义为：
第二步，正交化第二个向量：
咋是这么个样子？施密特正交化的核心思想是通过当前向量减去其之前向量上的投影，从而使新的向量与之前的向量正交。
- 投影定义：向量在上的投影表示为，其中是在上的投影系数，它表示在方向上的分量大小。
- 去除投影：从中去除在上的投影分量。。
- 此时，因为是通过去除在的投影得到的正交向量，确保只包含与垂直的部分。其不能表达为的倍数，因此也是线性无关的。
- 正交验证：
回到计算，其中内积的结果与另一个顺序的结果一致。顺序交换后它们结果相同的原因是共轭对称性，，当都为实数的情况可以简化为.
得到正交化的向量
第三步，正规化（归一化）向量：
最后得到了一组标准正交基：
通过它们的内积计算简单验证，确实是正交的。
使用施密特正交化方法得到新的向量的基本流程是先计算得到单位向量，再对其正规化。
给定的公式在两个向量的时候还不容易看出来，那么给出第三个：
已知
同样减去与的投影部分，确保新向量与之前的向量都是正交的：
最后可以总结为：
第个向量，删掉之前个正交向量上的投影，得到新的正交化向量，
再归一化
1.2 矩阵表示
在希尔伯特空间中，常用一组正交基向量来表达空间中的任意向量，是指标，代表基向量的标签。在有限维空间，无限维空间可以是全体自然数。
两个向量通过基向量的线性组合表示：
使用矩阵表示内积时，可以将内积视为基向量的系数的乘机和。
已知一组标准正交基向量的特点有任意两个不同向量内积为0，对自己的内积范数为1，那么通过应用指标集表达为
其中是克罗内克Kronecker函数，这个二元函数完美契合该正交基向量的内积表达， 时为1，否则为0。进一步计算的内积
已知仅有 时为1，否则为0，所以仅有该求和项存在
2. 外积
量子力学中外积通过用来表示状态向量的投影算符。考虑希尔伯特空间 和 中的基向量，的内积记为：。
2.1 投影算符
例如，是将一个任意态向量投影到方向的算符，
假如要将投影到上
又或者到的映射写为
对于任何向量有
表示线性算子将向量映射到与平行的新向量，系数为内积。方向与一致，长度由复数系数决定。
到这一步可以发现与施密特正交化中减去某向量上的分量一致。
例子：
易见，映射到空间后，方向与平行，长度为。
内积用于计算态向量之间的投影，外积用于构造投影算符和态的表示，线性算子用于描述量子态的烟花和物理量的作用。
一般情况下都使用标准正交基来进行计算，因为有很多性质能大幅简化计算和证明。在数值计算和图形学中可能会使用非正交基，视情况处理。
2.2 密度矩阵
在混合态的描述中，密度矩阵可以表示为多个外积的和。假如有一组状态向量和对应概率，密度矩阵可以写为
2.3 柯西-施瓦茨不等式
对任意两个向量和在同一个内积空间中，满足不等式
证明：
- 构建新向量
对于任意复数
- 计算内积
- 最小化内积
令
代入得到：
由于共轭对称性，因此
最后根据正定性，得到
得证
3. 特征向量和特征值
量子力学中，线性算子通常代表可观测量，特征向量对应系统再某个可观测量上的特点状态，特征值是对这个状态进行测量时可能得到的结果。
特征值退化指一个特征值对应多个线性无关的特征向量，这意味着特征空间是多维的，而不是一维的。由这种特征向量形成空间称为的特征子空间或退化子空间。
几何重数：特征子空间的维数，与相关联线性无关特征向量的数量。
代数重数：作为特征方程的根的重数。
考虑一组qutrit states
对角矩阵中，对角线的元素2，2，3就是特征值，易见特征值2对应了两个线性无关的特征向量。
也可以通过计算得到特征向量，会发现特征子空间是二维的，特征值2是退化的，几何重数为2。得到的特征子空间是一维的，特征值3不是退化的，几何重数为1。
4. 谱分解
向量空间上的任意正规算子在的某组正交基下是可对角化的。
4.1 基本概念
线性算子 ：是一个将向量空间映射到自身的线性变换。若是一个线性算子并且，那么也是中的一个向量。
正规算子：M算子是正规的，与其伴随算子对易，有，若是复数，是的共轭转置。
可对角化算子：可用某组基的线性表示得到对角矩阵。存在特征向量和特征值，使得：，参考3的内容。
酉算子：满足条件，表示量子态的演化和对称变换。
厄米算子：满足条件，厄米算子的特征值是实数，对应量子力学的可观测量，特征向量对应正交。
通过指数映射生成酉算子：，通过泰勒级数展开，可以计算得到的近似形式。
4.2 正规算子的可对角化证明
思路：已知是正规算子，它的特征向量对应不同的特征值；正规算子的特征向量的正交的；通过在正交的特征向量，可以构造一个正交基，使得在这个基下是对角化的。
谱定理：一个正规算子可以表示为其特征向量和特征值外积的和。
4.3 可对角化算子的正规性
思路：假设算子可对角化，那么在某个正交基下可以表示为对角矩阵；在这个正交基下它的伴随矩阵也是的对角矩阵，对角元素是元素的共轭；对易即正规。
假设有一个正规算子在二维复数向量空间上：
首先验证对易性
所以是正规的。
特征值计算
特征向量
最后根据谱分解，正规算子可以表示为特征值和特征向量的和：
哈密顿量是一个厄米算子，它有谱分解，其状态向量一般被称为能量本征态或稳态，最低的能量称为系统的基态能量，能量本征态称为基态。
5. 泡利矩阵的指数
基本性质
计算
简化
已知余弦和正弦的泰勒级数，进一步简化
类似的也能算出其他两个，另外可以直接使用欧拉公式得到。
6. 量子测量
测量过程可通过一组测量算子来描述，每个测量算子对应测量过程中可能得到的结果
。
测量算子应满足完备性条件：
6.1 测量过程
当量子系统处于某个最新状态，测量结果的概率由下面公式得到
其中是测量前的量子态，希尔伯特空间中的一个向量；
测量算子对应于可能的测量结果，作用在量子态上的线性算子；
伴随算子是测量算子的共轭转置；
算子作用在量子态上；
最后，内积，即表示量子态在测量算子作用后的状态与自身的重叠。
在测量后，系统的量子态坍缩为
测量算子需要满足幂等性吗？不需要，投影测量是一种特殊的量子测量方式，其算子满足自伴性和幂等性，这种情况下测量算子就是投影算子。一般的测量算子不需要完整这些条件，只需满足完备性条件。
于是，在更一般的量子测量框架下，使用的测量算子可以是任意满足完备性条件的线性算子。这些算子可描述更广泛的测量操作，不局限于投影测量。
进一步将公式写为
例：非投影测量
考虑一个简单的量子比特系统，两个测量算子
满足完备性
若此时量子态为，那么测量结果0的概率是
其中的过程：
另外一个结果的概率类似操作可得。
测量后的量子态分别为
测量结果是0，坍缩成上面那个，反之亦然。
6.2 投影测量
BUT，量子计算和量子信息中主要使用投影测量。
当然也需要满足完备性，另外也是正交投影算子，满足自伴性和幂等性，特征值是实数（只能为0或1）且投影操作是稳定的，重复投影不会改变结果。特征值为0的特征向量属于该子空间的正交补空间。
一个简单的构造投影算子的方法：可以通过选定一个二维希尔伯特空间任意向量，通过外积得到投影算子，然后进行正交投影算子的验证，如果可行那么就是正交投影算子。
正交投影算子将向量投影到一个子空间，保持该子空间内向量的方向和大小不变。
类似前面的一般测量算子，这里是一个厄米算子，且有谱分解
为投影算子，是对应特征值，意思是到特征空间上的投影，测量的可能结果对应于可观测量的特征值，概率
测量后量子态变为
6.3 POVM
这是一种广义的量子测量框架，POVM用来描述一组不一定正交的测量算子，能够以更为灵活的方式描述实际的量子测量过程。
与一般测量类似，POVM由一组正算子组成，同时满足完备性（算子的和为单位算子）以及正性（都是正算子，对任意向量有）。
每个算子都是半正定的，首先是自伴性；正性，本征值都是非负的。
测量过程基本一致，但有些许不同。
结果概率相同
如果此时不是投影算子的话，测量后的状态不易表示。若满足，就和之前的已知类似
7. 部分迹/偏迹 Partial Trace
假如有两个二维系统和，那么的密度矩阵是一个的矩阵
其中
对系统求部分迹，记为，表示对系统的基向量求和
现在把写为矩阵形式
计算例子：
对取部分迹
计算每一项
计算过程：
首先可以很容易的发现的才为1，的为，其余情况为0，所以限定内积不为0，所以可以写为
密度矩阵是一个正交投影的表示，关注的是对角线上的元素，因此取同一个值的情况下，表示的是系统处于某个特定基态的概率。
同理部分迹
8. 哈密顿量模拟
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累了，缓几天
待处理